До свадьбы я имела 4 части из 5 в родственной квартире. Сейчас я хочу продать их и купить новую квартиру, будет ли муж претендовать на нее?

Нет, если вы докажете документально, что деньги с продажи пошли на покупку нового жилья. Но, лучше бы составить брачный договор или оформить покупку на родителей с последующим составлением дарственной на ваше имя.