Квартира в собственности, прописан в ней папа, он и является владельцем. Также, у меня есть сестра, которой я ранее выплатила деньги за ее часть в этой недвижимости. Конечно, расписки или договора нет, но никто не против, что там я хозяйка. Как обезопасить себя и оформить данную недвижимость? Можно ли оспорить дарственную?

Оспаривается любой документ, но для этого нужны причины и веские основания. Вашему отцу стоит подписать на вас договор дарения и вы можете быть спокойны.