После смерти бабушки осталась жилая площадь, на которой она проживала с мужчиной. Он там прописан, но не имеет доли. Одобрят ли его судебный иск на права по данному объекту?

Если он не супруг, то прав на квартиру у него нет. В ином случае, он является наследником первой очереди. Он имеет возможность обратиться в суд, но решение зависит от его статуса, кем он был бабушке.